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原因は不明なので対処としては BASIC 認証を外すしかない（なかった）。
BASIC 認証を外して、IPアドレスによるアクセス制限に切り替えてテストしてみたら、Cookie がちゃんと作用していることが確認できた。
過去に、Mobile Safari で BASIC 認証でおかしくなる現象があったので、
参考：iPhone / iPad Safari で Basic認証のダイアログが出ない
これに似た現象かなぁとか思ったのだけど、今回はパソコンのブラウザ、且つ Firefox とかでも Cookie が正常に作用してくれなかった。
もちろん Mobile Safari でも同様にクッキーが作用しませんでした。
焦りました。